Les suites de nombres
Dès que l'homme a su compter, il a utilisé des suites de nombres : ainsi le paysan entaillant un bout de bois pour chacune de ses bêtes (ou mettant un petit cailloux dans un sac) avant de partir aux pâturages (cette deuxième méthode est d'ailleurs a l'origine du mot calcul, en latin calculus, qui veut dire cailloux), ou les parents reportant sur le mur de la chambre la taille de leur enfant en fonction de la date de la mesure; l'administration cantonale des impôts archivant votre revenu annuel.
Certains phénomènes naturels peuvent aussi être précisément décrits par des suites : dans un milieu favorable, des bactéries se divisent toutes les vingt minutes, si on sait combien de bactéries ont été mises dans une boîte de Petri, on peut calculer le nombre de bactéries après 24 heures.
Ces quelques exemples montrent bien à quel point cette notion est naturelle et fréquemment utilisée.
Chacune de ces situations peut être décrite mathématiquement par une suite finie de nombres. De la même manière, on peut décrire des suites infinies de nombres. La suite des nombres pairs est par exemple décrite par « le n-ième nombre pair est donné par pn = 2·n », cette notation voulant dire que p1 = 2·1 = 2, p2 = 2·2 = 4, etc. et ainsi la suite étant bien (p1,p2,...) = (2,4,...). On pourrait aussi commencer une suite par p0, mais, par convention, le premier élément de la suite sera en général indexé par 1 et non pas par 0. Une suite est donc une façon de choisir pour une famille de nombres un ordre. A chaque nombre naturel (numéro d'ordre du terme de la suite) on associe un nombre, entier ou réel qui est la valeur du terme de la suite.
Qu'est-ce qu'une suite formellement?
Mathématiquement on définit une suite infinie de nombres (x1,x2,...) comme une fonction des entiers naturels (sans le zéro) dans les nombres entiers ou les nombres réels. Comment peut-on étudier de tels objets ? Il faut d’abord réussir à les décrire …
Un piège à éviter !
On trouve souvent dans les manuels des questions du genre: « Pour (3,5,7,...), quel est le nombre suivant ? » ou « Donnez le nombre suivant de la suite logique 3 ;5 ;7 » La réponse à cette question n'est pas unique. En effet, même si la réponse la plus fréquemment attendue est 9, comme le nombre impair suivant 7, rien n'empêche de dire que c'est 11, si on considère la suite des nombres premiers impairs. En effet, le nombre premier suivant 7 est bien 11. Il serait même possible de répondre 0 si le 3 représente les trois truites que j'ai pêchées à ma première sortie de l’année, 5 le nombre de truites capturées à la deuxième sortie, 7 le nombre obtenu la troisième fois et que je suis revenu bredouille la quatrième fois. Ceci montre bien que la connaissance de quelques termes ne détermine pas une unique suite, même si dans bien des cas, il y en a une qui s'impose naturellement.
Comment donc décrire une suite particulière de nombres?
La première manière est de le faire explicitement par une formule. Dans l'exemple des nombres pairs, on définit pn par pn = 2·n, formule qui permet de retrouver tous les termes p1 =2, p2.=4... et même p226=2·226 = 452
Une autre manière de définir une suite est de donner une relation de récurrence, c'est-à-dire de définir le nième terme de la suite en fonction de l'indice n et des termes précédents déjà définis pn-1,...p1. Dans le cas de la suite des nombres pairs, on définirait alors pn par pn = pn-1 +2, sans oublier de définir le point de départ de la suite (le premier terme) par exemple p1 = 2.
Ainsi p2 = p1+2=2+2= 4; p3 = p2 +2=4+2= 6, etc.
Cette façon de définir une suite est appelée définition par récurrence (ou définition récursive).
Il est très important de définir le premier terme pour toute suite définie par récurrence. En effet si p1 est défini différemment, la suite est différente. Réfléchissez à la suite obtenue par la même relation pn = pn-1 +2, mais avec p1 = 1.
Le désavantage de telles défintions de suites est bien sûr qu’il faut avoir calculé tous les termes précédents pour pouvoir obtenir un terme donné !
La suite de Fibonacci
Certaines suites ont une vie plus trépidante que d’autres. La suite de Fibonacci commença son histoire quand Léonard de Pise, dans son « Liber Abaci », posa un petit problème de lapins : « partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois, sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois ? » (voir par ex. http://perso.wanadoo.fr/therese.eveilleau/pages/truc_mat/textes/lapins.htm)
Elle n'a cessé depuis d’apparaître à des endroits très divers où on ne l'attendait pas !
La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence Fn+2 = Fn+1 + Fn, avec F1=1 et F2=1.
On connaît donc F1=1, F2 = 1, et on peut ensuite calculer F3 = F2 + F1 = 1+1 =2; F4 = F3 + F2 = 2+1 =3; F5 = F4 + F3 = 3+2 =5.
On obtient donc la suite dont les premiers termes sont (1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...).
Comme, pour construire la suite de Fibonacci, on ajoute des valeurs entières positives à d'autres valeur entières, les éléments de la suite de Fibonacci croissent arbitrairement (on dit que la suite tend vers l'infini). Néanmoins, comme on construit le nième terme à l'aide des deux termes précédents, on peut se demander si le rapport entre deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci tend lui vers une certaine valeur. C'est en effet le cas et on peut démontrer que cette valeur limite est le nombre d’or, nombre qui est la solution positive de l’équation x2-x-1 = 0. On le note Φ et sa valeur est 
. Ce nombre a une place à part dans l’art européen de la Grèce antique à nos jours (voir par ex. http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm)
